了解causal forest之前，需要先了解其forest实现的载体：GENERALIZED RANDOM FORESTS[6]（GRF)。其是随机森林的一种推广。经典的随机森林只能用于估计label Y，不能用于估计复杂的目标，比如causal effect。Causal Tree、Cauasl Forest的同一个作者对其进行了改良。
先定义一下矩估计参数表达式：
其中，\(\psi\) 是score function，也就是measure metric，\(\theta\) 是我们不得不去计算的参数，比如tree里面的各项参数如特征threshold，叶子节点估计值等，\(\upsilon\) 则是一个可选参数。
\(O\) 表示和计算相关的值，比如监督信号。像response类的模型，\(O_i={Y_i}\)，像causal 模型，\(O_i={Y_i, W_i}\)，\(W\) 表示某种treatment。
该式在实际优化参数的时候，等价于最小化：
其中，\(\alpha\) 是一种权重，当然，这里也可以理解为树的权重，假设总共需要学习 \(B\) 棵树：
其中，\(L_b(x)\) 表示叶子节点里的样本。本质上，这个权重表示的是：训练样本和推理或者测试样本的相似度，因为如果某个样本 \(x_i\) 落入叶子 \(L_b\) ，且我们可以认为叶子节点内的样本同质的情况下，那么可以认为这个样本和当前落入的tree有相似性。
当然，按照这个公式，如果 \(L_b\) 很大，说明进入这个叶子的训练样本很多，意味着没划分完全，异质性低，则最后分配给这棵树的权重就低，反之亦然。
分裂准则框架
对于每棵树，父节点 \(P\) 通过最优化下式进行分裂：
其中，\(\mathcal{J}\) 表示train set，分裂后形成的2个子节点标准为：通过最小化估计值与真实值间的误差平方：
等价于最大化节点间的异质性：
但是 \(\theta\) 参数比较难优化，交给梯度下降：
其中，\(\hat \theta_P\) 通过 (2) 式获得, \(A_p\) 为score function的梯度。
梯度计算部分包含2个step：
- step1：labeling-step 得到一个pseudo-outcomes
- step2：回归阶段，用这个pseudo-outcomes 作为信号，传递给split函数, 最终是最大化下式指导节点分割
Causal Forest
以Casual-Tree为base，不做任何估计量的改变。与单棵 tree 净化到 ensemble 一样，causal forest[7] 沿用了经典bagging系的随机森林，将一颗causal tree 拓展到多棵：
其中，每科子树 \(\hat \tau\) 为一颗Casual Tree。使用随机森林作为拓展的好处之一是不需要对causal tree做任何的变换，这一点比boosing系的GBM显然成本也更低。
不过这个随机森林使用的是广义随机森林，经典的随机森林只能去估计label Y，不能用于估计复杂的目标，比如causal effect，Causal Tree、Cauasl Forest的同一个作者对其进行了改良，放在后面再讲。
在实现上，不考虑GRF，单机可以直接套用sklearn的forest子类，重写fit方法即可。分布式可以直接套用spark ml的forest。
CAPE: 适用连续treatment 的 causal effect预估
Conditional Average Partial Effects(CAPE)
GRF给定了一种框架：输入任意的score-function，能够指导最大化异质节点的方向持续分裂子树，和response类的模型一样，同样我们需要一些估计值(比如gini index、entropy)来计算分裂前后的score-function变化，计算估计值需要估计量，定义连续treatment的估计量为：
估计量参与指导分裂计算，但最终，叶子节点存储的依然是outcome的期望。
此处的motivation来源于工具变量和线性回归：
此处我们假设 \(x\) 是treatment，y是outcome， \(w\) 作为一个参数简单的描述了施加treatment对结果的直接影响，要寻找到参数我们需要一个指标衡量参数好坏, 也就是loss, 和casual tree一样，通常使用mse：
为了最快的找到这个w，当然是往函数梯度的方向, 我们对loss求偏导并令其为0：
(2) 代入 (1) 式可得：
可简化得参数w是关于treatment和outcome的协方差/方差。至于 \(\xi\) , 似乎影响不大。
参考文献
- https://hwcoder.top/Uplift-1
- 工具: scikit-uplift
- Meta-learners for Estimating Heterogeneous Treatment Effects using Machine Learning
- Athey, Susan, and Guido Imbens. “Recursive partitioning for heterogeneous causal effects.” Proceedings of the National Academy of Sciences 113.27 (2016): 7353-7360.
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/115223013
- Athey, Susan, Julie Tibshirani, and Stefan Wager. “Generalized random forests.” (2019): 1148-1178.
- Wager, Stefan, and Susan Athey. “Estimation and inference of heterogeneous treatment effects using random forests.” Journal of the American Statistical Association 113.523 (2018): 1228-1242.
- Rzepakowski, P., & Jaroszewicz, S. (2012). Decision trees for uplift modeling with single and multiple treatments. Knowledge and Information Systems, 32, 303-327.
- annik Rößler, Richard Guse, and Detlef Schoder. The best of two worlds: using recent advances from uplift modeling and heterogeneous treatment effects to optimize targeting policies. International Conference on Information Systems, 2022.
